Back to frontpage
Hét vraag- en antwoordplatform van Nederland

Hoe primitiveer ik onderstaande functie?

Verwijderde gebruiker
8 jaar geleden
in: Overig
2.1K
erotisi
8 jaar geleden
Mocht je op deze site geen antwoord krijgen, misschien is de volgende site ook geschikt: http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=58852&j=2009

Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.

Het beste antwoord

Deze integraal is het handigst op te lossen door trigonometrische substituties. Waarschuwing, dit is een vrij lang verhaal, ik heb geen ruimte om elk stapje tot in detail uit te leggen, dus soms zal je misschien zelf wat na moeten rekenen.

De primitieve die er uiteindelijk uitrolt is

arcsin(√2/2 * x ) + x/2 * √(2-x²) + C

(Met arcsin de inverse sinus.)

en met de gegeven integratiegrenzen rolt er Pi uit.

Zie bv. ook https://www.youtube.com/watch?v=Jkhrx7h16s0 waarin uitgelegd wordt hoe je integralen van deze vorm berekent. (Wel in het Engels). Zelf vind ik het filmpje prettiger, omdat daar de formules getoond kunnen worden, en Goeie Vraag is in dat opzicht nogal beperkt.

WAARSCHUWING: ik werk hier met x en niet t, om meer bij het filmpje aan te sluiten. Daarnaast gebruik ik voor de ‘theta’ in het filmpje de variabele z . (Ik zou t gebruikt hebben, maar dan wordt het wel heel verwarrend omdat die variabele ook al in je oorspronkelijke afbeelding staat).

Er zijn 5 stappen:

1. Omschrijven naar standaardvorm
2. Invullen van substitutie x/a = sin(z)
3. Primitiveren
4 Terugsubstitutie van oorspronkelijke variabele x
5. (Eventuele controle) en integratiegrenzen invullen.

OPGAVE: Bepaal

∫ √(2-x²) dx

al dan niet met integratiegrenzen.

STAP 1: OMSCHRIJVING NAAR STANDAARDVORM

De integrand is van de vorm
√(a² - x²) voor a=√2
We willen deze herleiden naar de vorm
a * √(1 - (x/a)²)

Omdat we dan onze substitutie uit kunnen voeren

Dus haal een factor 2 ‘uit de wortel’
√(2-x²) = √2 * √(1-1/2 x²)

en dit is inderdaad van de vorm
a * √(1 - (x/a)²)

voor a= √2

Voor het gemak zal ik verder de ‘a’ blijven gebruiken. Het resultaat wordt dan algemener, en veel lastiger is het niet.


STAP 2: TRIGONOMETRISCHE SUBSITUTIE.
Vul nu in:

x/a = sin(z)

Dan geldt namelijk:
x= a sin(z)

ofwel

dx/dz = a cos(z)

ofwel

dx = a cos(z) dz

Ook geldt
√(1-(x/a)²) =

√(1- sin²(z)) = (gebruik sin^2 x + cos^2 x = 1)

√(cos²(z))

Alles bij elkaar nemend krijgen we dus:

∫ a * √(1 - (x/a)²) dx =

∫ a * √ (cos²(z)) * a cos(z) dz =

a² ∫ cos²(z) dt

Nu geldt (formule voor dubbele hoek):

cos 2z= 2 cos²(z)-1

ofwel

cos²(z) = 1/2 (1+cos 2z)

Dus

a² ∫ cos²(z) dz =

1/2 a² ∫ (1+cos 2z) dz

en deze uitdrukking kunen we eindelijk primitiveren !

(Lees meer...)
kierkegaard47
8 jaar geleden
kierkegaard47
8 jaar geleden
STAP 3: PRIMITIVEREN 1/2 a² ∫ (1+cos 2z) dz = 1/2 a² [z + 1/2 sin(2z)] + C= ( Gebruik nu de dubbele hoekformule
sin(2z) = 2 sin(z)cos(z) ) 1/2 a² [ z + 2*1/2 sin(z)cos(z)) ] + C = 1/2 a² [ z + sin(z)cos(z)] + C STAP 4: TERUGSUBSTITUTIE VAN OORSPRONKELIJKE VARIABELEN. We zijn er nog niet, want nu moeten we de oorspronkelijke variabelen terugzetten. Omdat x/a= sin(z) geldt dus z = arcsin(x/a) (arcsin is de inverse van de sinus, vaak ook genoteerd als sin^-1 (x), niet te verwarren met (sin(x)^-1) ) Daarnaast moeten we cos(z) in x uit kunnen drukken: Omdat x/a= sin(z) is sin²(z) =(x/a)² dus (1-cos²(z) =(x/a)² dus cos(z) = √(1-(x/a)²) = 1/a √(a²-x²) Nu gaan we deze resultaten invullen voor z, sin(z) en cos(z) : 1/2 a² [ (z + sin(z)cos(z))] + C = wordt dan 1/2 a² [ arcsin(x/a) + x/a * 1/a √(a²-x²) ] + C = 1/2 a² arcsin(x/a) + x/2 √(a²-x²) + C En dit is je eindresultaat! Eventueel nog invullen dat a=√2 om te krijgen arcsin(x/√2) + x/2 √(2-x²) + C of (omdat 1/√2 vaker geschreven wordt als √2/2): arcsin(√2/2 * x) + x/2 √(2-x²) + C STAP 5: CONTROLE EN INVULLEN VAN INTEGRATIEGRENZEN Mocht je willen controleren met behulp van differentieren of dit klopt: de afgeleide van arcsin(x) is 1/ √ (1-x²) Maar als je dit soort integralen als huiswerk krijgt, zal je dat wel weten. Vul je nu nog de oorspronkelijke integratiegrenzen in, dan rolt er Pi uit.
kierkegaard47
8 jaar geleden
Korte aanvulling. Eigenlijk is het me niet helemaal duidelijk of je de primitieve expliciet moet berekenen, of "slechts" de bepaalde integraal over [-√2..√2]. In dat laatste geval kan je namelijk een stuk sneller klaar zijn, omdat je dan stap 4 over kunt slaan, mits je de integratiegrenzen juist invult. Omdat we hebben gezegd x/a= sin(z) en dus z = arcsin(x/a) en a=√2 geldt voor de ondergrens van de integrand (x=-√2) z = arcsin(-√2/√2)=arcsin(-1) = -Pi/2 Evenzo voor de bovengrens (x=√2)
z=arcsin(√2/√2)=arcsin(1) = Pi/2 Vul je dit in in 1/2 a² [ z + sin(z)cos(z)] + C = dan ben je veel sneller klaar. Immers vereenvoudigt 1/2 a² tot 1, de C valt weg bij het aftrekken van onder-en bovengrens, en tenslotte is cos(Pi/2)=cos(-Pi/2)=0, waardoor ook sin(z)cos(z)=0 bij onder- en bovengrenns Waardoor slechts overblijft bij het invullen: Pi/2 - (-Pi/2) = Pi.

Andere antwoorden (1)

Eerst maak je van de wortel -> tot de macht 1/2, dit mag altijd. Wortel is de tweedemachts wortel -> 1/2. Derdemachtswortel zou bijvoorbeeld 1/3 zijn.
Dan kun je makkelijk gaan primitiveren. Je telt bij de tot de macht een half 1 op dus 1,5.
Dan kijk je naar wat ervoor moet. Als je de afgeleide zou bepalen zou je keer 1,5 en keer afgeleide van wat er tussen de haakjes staat doen. Dus keer 1,5 keer -2x (afgeleide 2-x^2 = -2x), dus -3x.
Dat moet je neutraliseren, 1 van maken. Dus dan doe je 1/-3x.
Primitieve is dan 1/-3x(2-t^2)^1,5.
(Lees meer...)
Verwijderde gebruiker
8 jaar geleden

Weet jij het beter..?

Het is niet mogelijk om je eigen vraag te beantwoorden Je mag slechts 1 keer antwoord geven op een vraag Je hebt vandaag al antwoorden gegeven. Morgen mag je opnieuw maximaal antwoorden geven.

0 / 2500
Gekozen afbeelding
+